01背包问题

题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i

件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5 1 2 2 4 3 4 4 5

输出样例：

8

解题思路：动态规划

参数定义：

• N件物品
• V 背包的总容量
• Ci放入第 i 件物品耗费的费用
• Wi放入第 i 件物品得到的价值

定义状态

$F[i,V]$F[i,V] 表示在前 $i$i 件物品中选择总重量不超过 $V$V 的物品，可以使得总价值最大，其中$1\le i\le N$1≤i≤N。

对于第$i$i个物品，有两种可能：放入或者不放入

• 不放入第 i 件物品，背包容量不变，问题变为 $F[i-1,V]$F[i−1,V]

• 放入第 i 件物品，背包容量减小，问题变为$F[i-1,V-Ci]+Wi$F[i−1,V−Ci]+Wi ,

  因为第 i 件物品已经放进去背包，获取的价值是 Wi，留给前 i−1 件物品的背包容量只有V−Ci

最优方案就是比较两种选择哪个更好，

转移方程

$F[i,v]=max\left(F\right[i-1,v],F[i-1,v-Ci]+Wi)$F[i,v]=max(F[i−1,v],F[i−1,v−Ci]+Wi)

边界条件 初始状态 为 0 表示不装任何东西

代码实现

Python

二维DP

N,V = map(int, input().split())

dp = [[0]*(V+1) for _ in range(N)]

for i in range(N):
    vi, wi = map(int, input().split())
    for j in range(V, vi-1, -1):
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi]+wi)
print(dp[-1][-1])

时间复杂度$O\left(NV\right)$O(NV)

空间复杂度$O\left(NV\right)$O(NV)

空间优化-一维DP

V,N = map(int, input().split())

dp = [0] * (V + 1)
for i in range(N):
    # print(i)
    vi, wi = map(int, input().split())
    for j in range(V, vi - 1, -1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - vi] + wi)
print(dp[-1])

时间复杂度$O\left(NV\right)$O(NV)

空间复杂度$O\left(V\right)$O(V)